Considere dois círculos concêntricos de centro O e raios diferentes.

Sejam AB um diâmetro do círculo maior e AC uma corda do círculo maior que é tangente ao círculo menor no ponto T.

O segmento BC mede 20 cm.

a) Faça uma figura que descreva a situação apresentada.

b) Calcule o raio do círculo menor.

a)

b)

Da figura construída no item anterior, temos:

  • o segmento começar estilo tamanho matemático 14px OT em moldura superior fim do estilo, que é um raio da circunferência menor, é perpendicular ao segmento começar estilo tamanho matemático 14px AC em moldura superior fim do estilo, já que esse último é tangente à circunferência
  • o triângulo ACB é retângulo em C, já que ele está inscrito na circunferência maior e seu lado começar estilo tamanho matemático 14px AB em moldura superior fim do estilo é um diâmetro da circunferência

A figura a seguir traz as observações feitas, denotando por r a medida do raio começar estilo tamanho matemático 14px OT em moldura superior fim do estilo e por R as medidas dos raios começar estilo tamanho matemático 14px OA em moldura superior espaço reto e espaço OB em moldura superior fim do estilo.

Como os triângulos retângulos ATO e ACB compartilham o ângulo de vértice em A, eles são semelhantes e, assim:

começar estilo tamanho matemático 14px AO sobre AB igual a OT sobre BC então fim do estilo

começar estilo tamanho matemático 14px numerador reto R sobre denominador 2 reto R fim da fração igual a reto r sobre 20 então fim do estilo

r = 10

Dessa forma, o raio do círculo menor mede 10 cm.