Uma lista possui cinco números reais positivos e menores ou iguais a 10, podendo haver repetição. Nessa lista, existe apenas um número máximo, e a soma dos demais números é igual a 20.

a) Sendo M a média aritmética dos cinco números e x o maior deles, determine a expressão de M(x). Desenhe, no plano cartesiano presente no campo de Resolução e Resposta, o gráfico de M(x) e determine o domínio e a imagem dessa função.

b) Admita, agora, que a média, a mediana, a moda e a amplitude dos cinco números de tal lista sejam, respectivamente: 5,7; 7,0; 7,0 e 7,9. Determine os cinco números que compõem a lista.

a) Denotando os números por a, b, c, d e x, pode-se escrever o rol (a, b, c, d, x), com começar estilo tamanho matemático 14px reto a espaço menor ou igual a espaço reto b espaço menor ou igual a espaço reto c espaço menor ou igual a espaço reto d espaço menor que espaço reto x fim do estilo e cada um destes variando no intervalo ]0,10].

Além disso, do enunciado, tem-se que a + b + c + d = 20.

A média aritmética é dada por:

começar estilo tamanho matemático 14px reto M espaço igual a espaço numerador reto a espaço mais espaço reto b espaço mais espaço reto c espaço mais espaço reto d espaço mais espaço estreito reto x sobre denominador 5 fim da fração espaço igual a espaço numerador 20 espaço mais espaço reto x sobre denominador 5 fim da fração espaço seta para a direita espaço reto M parêntese esquerdo reto x parêntese direito espaço igual a reto x sobre 5 espaço mais espaço estreito 4 fim do estilo

Agora:

1. Do enunciado, tem-se que começar estilo tamanho matemático 14px 0 espaço menor que espaço reto x espaço menor ou igual a espaço 10 fim do estilo e que começar estilo tamanho matemático 14px reto x espaço maior que espaço reto d fim do estilo;

2. Dado que a + b + c + d = 20, então deve haver pelo menos um destes números que é maior ou igual a 5 (caso contrário, a soma a + b + c + d deveria ser menor que 20); como os números a, b, c e d estão em ordem crescente, então pelo menos começar estilo tamanho matemático 14px reto d espaço maior ou igual a espaço 5 fim do estilo;

3. Como x é maior que todos esses números, então pode-se garantir que começar estilo tamanho matemático 14px reto x espaço maior que espaço 5 fim do estilo.

Desta forma, o domínio da função M(x) é o intervalo começar estilo tamanho matemático 14px reto x com 0 subscrito espaço menor que espaço reto x espaço menor ou igual a espaço 10 fim do estilo, sendo começar estilo tamanho matemático 14px reto x com 0 subscrito fim do estilo um número real menor que 10 e que seja maior ou igual a 5 e maior ou igual a d.

Considerando que o domínio pedido seja o maior subconjunto possível nestas condições, então o domínio é dado pelo intervalo ]5,10] e, assim, é possível desenhar o gráfico de M(x):

Com base no gráfico, conclui-se que o conjunto-imagem desta função é o intervalo ]5,6].

b) A partir do rol (a,b,c,d,x), tem-se:

- como a mediana vale 7, então c = 7;

- do item anterior, a média é dada por começar estilo tamanho matemático 14px reto x sobre 5 espaço mais espaço estreito 4 fim do estilo; como esse valor é igual a 5,7, então começar estilo tamanho matemático 14px reto x sobre 5 espaço mais espaço estreito 4 espaço igual a espaço 5 vírgula 7 fim do estilo e, portanto, x = 8,5;

- como a amplitude vale 7,9, então x – a = 7,9 e, assim, a = 0,6;

- como a soma a + b + c + d = 20, então 0,6 + b + 7 + d = 20 e, portanto, b + d = 12,4; já que a moda vale 7, então b = 7 ou d = 7. Se b = 7, dado que b + d = 12,4, teríamos d = 5,4, o que é absurdo, pois b < d; então d = 7 e b = 5,4.

Portanto, deve-se ter a = 0,6; b = 5,4; c = 7; d = 7 e x = 8,5.