Renato foi ao jornaleiro comprar pacotes de figurinhas. Se cada pacote custasse 35 centavos a menos, Renato poderia ter comprado 4 pacotes a mais com os R$136,80 que gastou, e lhe sobrariam 30 centavos de troco.

a) Denote por x a quantidade de pacotes de figurinhas comprados por Renato e por y o preço de cada pacote de figurinha. Exiba um sistema de equações com as incógnitas x e y.

b) Sendo x a quantidade de pacotes de figurinhas compradas, exiba a equação polinomial do 2o grau, na forma ax2 + bx - c = 0, com coeficientes a, b e c inteiros positivos e máximo divisor comum entre a, b e c igual a 1, que tem x como uma de suas raízes.

a) Considerando que y seja o preço em reais de cada pacote, do enunciado pode-se escrever o sistema:

começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto x vezes reto y espaço igual a espaço 136 vírgula 80 fim da célula linha com célula com parêntese esquerdo reto y espaço menos espaço 0 vírgula 35 parêntese direito vezes parêntese esquerdo reto x espaço mais espaço estreito 4 parêntese direito espaço igual a espaço 136 vírgula 80 espaço menos espaço 0 vírgula 30 fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo

que pode ser reescrito de forma equivalente

começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto x vezes reto y espaço igual a espaço 136 vírgula 80 fim da célula linha com célula com parêntese esquerdo reto y espaço menos espaço 0 vírgula 35 parêntese direito vezes parêntese esquerdo reto x espaço mais espaço estreito 4 parêntese direito espaço igual a espaço 136 vírgula 50 fim da célula fim da tabela fecha fim do estilo

 

b) A partir da segunda equação do sistema e observando que xy = 136,80, vem:

começar estilo tamanho matemático 14px xy espaço mais 4 reto y espaço menos espaço 0 vírgula 35 reto x espaço menos espaço 1 vírgula 40 espaço igual a espaço 136 vírgula 50 fim do estilo

Como xy = 136,80, então:

começar estilo tamanho matemático 14px 136 vírgula 80 espaço mais espaço estreito 4 reto y espaço menos espaço 0 vírgula 35 reto x espaço menos espaço 1 vírgula 40 espaço menos espaço 136 vírgula 50 espaço igual a espaço 0 4 reto y espaço menos espaço 0 vírgula 35 reto x espaço menos 1 vírgula 10 espaço igual a espaço 0 fim do estilo

Da primeira equação, vem começar estilo tamanho matemático 14px reto y espaço igual a espaço numerador 136 vírgula 80 sobre denominador reto x fim da fração fim do estilo. Substituindo:

começar estilo tamanho matemático 14px 4 vezes numerador 136 vírgula 80 sobre denominador reto x fim da fração espaço menos espaço 0 vírgula 35 reto x espaço menos 1 vírgula 10 espaço igual a espaço 0 0 vírgula 35 reto x ao quadrado espaço mais espaço 1 vírgula 10 reto x espaço menos espaço 547 vírgula 20 espaço igual a espaço 0 7 sobre 20 reto x ao quadrado espaço mais espaço estreito 11 sobre 10 reto x espaço menos espaço numerador 2 espaço 736 sobre denominador 5 fim da fração espaço igual a espaço 0 7 reto x ao quadrado espaço mais espaço estreito 22 reto x espaço menos espaço 10 espaço 944 espaço igual a espaço 0 fim do estilo