Um número complexo é da forma z = x + yi, onde x, y ∈ ℝ e i2 = −1.

a) Determine o valor de b ∈ ℝ para que a parte real do número complexo começar estilo tamanho matemático 14px numerador 2 mais b i sobre denominador 1 mais i fim da fração fim do estilo seja igual a zero.

b) Determine a solução da equação |z| − z = 1 + 2i.

c) Determine o valor de a ∈ ℝ, a ≠ 0, para que a equação começar estilo tamanho matemático 14px a z z em moldura superior mais abre parênteses 1 mais i fecha parênteses z mais abre parênteses 1 mais i fecha parênteses z em moldura superior fecha moldura mais 1 igual a 0 fim do estilo descreva uma circunferência no plano cartesiano.

a) Sendo começar estilo tamanho matemático 14px reto z espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais espaço estreito bi sobre denominador 1 espaço mais espaço reto i fim da fração fim do estilo, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px reto z espaço igual a espaço numerador 2 espaço mais espaço estreito bi sobre denominador 1 espaço mais espaço reto i fim da fração vezes numerador 1 espaço menos espaço reto i sobre denominador 1 espaço menos espaço reto i fim da fração reto z espaço igual a espaço numerador 2 espaço menos espaço 2 reto i espaço mais espaço estreito bi espaço menos espaço bi ao quadrado sobre denominador 1 espaço menos espaço reto i ao quadrado fim da fração reto z espaço igual a espaço numerador reto b espaço mais espaço 2 espaço mais espaço parêntese esquerdo reto b espaço menos espaço 2 parêntese direito reto i sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo

A parte real de z é começar estilo tamanho matemático 14px numerador reto b espaço mais espaço estreito 2 sobre denominador 2 fim da fração fim do estilo e é igual a zero, se, e somente se, b = –2.

b) Com z = x + yi, x e y reais, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px abre barra vertical reto z fecha barra vertical espaço menos espaço reto z espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço estreito 2 reto i raiz quadrada de reto x ao quadrado espaço mais espaço reto y ao quadrado fim da raiz espaço menos espaço reto x espaço menos espaço yi espaço igual a espaço 1 espaço mais espaço 2 reto i espaço espaço espaço espaço espaço espaço então abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com raiz quadrada de reto x ao quadrado espaço mais espaço reto y ao quadrado fim da raiz espaço menos espaço reto x espaço igual a espaço 1 fim da célula linha com célula com reto y espaço igual a espaço menos 2 fim da célula fim da tabela fecha espaço espaço espaço então raiz quadrada de reto x ao quadrado espaço mais espaço estreito 4 fim da raiz espaço menos espaço reto x espaço igual a espaço 1 raiz quadrada de reto x ao quadrado espaço mais espaço 4 fim da raiz espaço igual a espaço reto x espaço mais espaço 1 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo asterisco parêntese direito reto x ao quadrado espaço mais espaço 4 espaço igual a espaço parêntese esquerdo reto x espaço mais espaço estreito 1 parêntese direito ao quadrado reto x à potência de 2 fim do exponencial espaço mais espaço 4 espaço igual a espaço reto x ao quadrado espaço mais espaço 2 reto x espaço mais espaço 1 reto x espaço igual a espaço 3 sobre 2 fim do estilo

 (note que, com esse valor a igualdade em * é verificada)

Logo, começar estilo tamanho matemático 14px reto z espaço igual a espaço 3 sobre 2 espaço menos espaço 2 reto i fim do estilo.

c) Com z = x + yi, x e y reais, tem-se:

começar estilo tamanho matemático 14px reto a parêntese esquerdo reto x espaço mais espaço yi parêntese direito parêntese esquerdo reto x espaço menos espaço yi parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço reto i parêntese direito parêntese esquerdo reto x espaço mais espaço estreito yi parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço reto i parêntese direito parêntese esquerdo reto x espaço menos espaço yi parêntese direito espaço mais espaço 1 espaço igual a espaço 0 reto a parêntese esquerdo reto x ao quadrado espaço mais espaço reto y ao quadrado parêntese direito espaço mais espaço estreito reto x espaço mais espaço estreito yi espaço mais espaço xi espaço menos espaço reto y espaço mais espaço reto x espaço menos espaço yi espaço menos espaço xi espaço menos espaço reto y espaço igual a espaço menos 1 ax ao quadrado espaço mais espaço ay ao quadrado espaço mais espaço 2 reto x espaço menos espaço 2 reto y espaço igual a espaço menos 1 reto x ao quadrado espaço mais espaço reto y ao quadrado espaço mais espaço 2 reto x 1 sobre reto a espaço menos espaço 2 reto y 1 sobre reto a espaço igual a espaço numerador menos 1 sobre denominador reto a fim da fração reto x ao quadrado espaço mais espaço 2 reto x 1 sobre reto a espaço mais espaço reto y ao quadrado espaço menos espaço 2 reto y 1 sobre reto a espaço igual a espaço numerador menos 1 sobre denominador reto a fim da fração reto x ao quadrado espaço mais espaço 2 reto x 1 sobre reto a espaço mais espaço 1 sobre reto a ao quadrado espaço mais espaço reto y ao quadrado espaço menos espaço 2 reto y 1 sobre reto a espaço mais espaço 1 sobre reto a ao quadrado espaço igual a espaço numerador menos 1 sobre denominador reto a fim da fração espaço mais espaço 2 sobre reto a ao quadrado abre parênteses reto x espaço mais espaço 1 sobre reto a fecha parênteses ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto y espaço menos espaço 1 sobre reto a fecha parênteses ao quadrado espaço igual a espaço numerador menos reto a espaço mais espaço 2 sobre denominador reto a ao quadrado fim da fração fim do estilo

Essa equação descreve uma circunferência, se, e somente se, começar estilo tamanho matemático 14px numerador menos reto a espaço mais espaço estreito 2 sobre denominador reto a ao quadrado fim da fração espaço maior que espaço 0 fim do estilo, ou seja, se a < 2. Assim, qualquer valor não nulo de a, com a < 2 é solução.