Considere a, b, c ∈ ℝ e a função f: ℝ → ℝ dada por f(x) = ax2 + bx + c.

a) Determine os valores de a, b e c para que f(1) = 1, f(0) = 0 e f(−1) = 1.

b) Para a = −1 e b = 4, determine o valor de c de modo que a área do triângulo ABV da figura seja igual a 32 u.a., onde V é o vértice da parábola representada por f.

c) Considere g: ℝ → ℝ a função dada por g(t) = cos t. Se a = 3 e c = −8, determine para quais valores de b a equação f(g(t)) = 0 possui ao menos uma solução real.

a) Dado que f(0) = 0, então a·02 + b·0 + c = 0, o que implica c = 0. Além disso, como f(1) = f(–1) = 1, deve-se ter:

começar estilo tamanho matemático 14px abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto a vezes 1 ao quadrado espaço mais espaço reto b vezes 1 espaço mais espaço 0 espaço igual a espaço 1 fim da célula linha com célula com reto a vezes parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço reto b vezes parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço mais espaço 0 espaço igual a espaço 1 fim da célula fim da tabela espaço espaço espaço seta dupla para a direita espaço espaço espaço espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto a espaço mais espaço reto b espaço igual a espaço 1 fim da célula linha com célula com reto a espaço menos espaço reto b espaço igual a espaço 1 fim da célula fim da tabela fecha espaço fecha fim do estilo

Somando as equações, obtém-se 2a = 2 e, portanto, a = 1. Com isso, tem-se b = 0.

b) A abscissa dos pontos A e V é dada por começar estilo tamanho matemático 14px menos numerador 4 sobre denominador 2 parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração espaço igual a espaço 2 fim do estilo e a abscissa do ponto B é dada por começar estilo tamanho matemático 14px numerador menos 4 espaço menos espaço raiz quadrada de 16 espaço mais espaço 4 reto c fim da raiz sobre denominador menos 2 fim da fração fim do estilo, ou seja,
começar estilo tamanho matemático 14px 2 espaço mais espaço raiz quadrada de 4 espaço mais espaço estreito reto c fim da raiz fim do estilo. Dessa forma, a base começar estilo tamanho matemático 14px AB em moldura superior fim do estilo do triângulo mede começar estilo tamanho matemático 14px 2 espaço mais espaço raiz quadrada de 4 espaço mais espaço estreito reto c fim da raiz espaço menos espaço 2 espaço igual a espaço raiz quadrada de 4 espaço mais espaço estreito reto c fim da raiz fim do estilo.        (I)

A ordenada de V é dada por f(2) = –22 + 4·2 + c, ou seja, 4 + c. Dessa forma, a altura AV do triângulo vale 4 + c.         (II)

De (I), (II) e sabendo que a área do triângulo ABV é igual a 32, então deve-se ter:

começar estilo tamanho matemático 14px numerador parêntese esquerdo 4 espaço mais espaço reto c parêntese direito vezes raiz quadrada de 4 espaço mais espaço estreito reto c fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 32 fim do estilo

Com c > –4, note que começar estilo tamanho matemático 14px 4 espaço mais espaço estreito reto c espaço igual a espaço parêntese esquerdo raiz quadrada de 4 espaço mais espaço estreito reto c fim da raiz parêntese direito ao quadrado fim do estilo e, assim:

começar estilo tamanho matemático 14px numerador parêntese esquerdo raiz quadrada de 4 espaço mais espaço estreito reto c fim da raiz parêntese direito ao quadrado vezes raiz quadrada de 4 espaço mais espaço estreito reto c fim da raiz espaço sobre denominador 2 fim da fração espaço igual a espaço 32 parêntese esquerdo raiz quadrada de 4 espaço mais espaço estreito reto c fim da raiz parêntese direito ao cubo espaço igual a espaço 64 raiz quadrada de 4 espaço mais espaço estreito reto c fim da raiz espaço igual a espaço 4 4 espaço mais espaço estreito reto c espaço igual a espaço 16 reto c espaço igual a espaço 12 fim do estilo

c) Para que a equação dada tenha pelo menos uma solução real, como –1 ≤ g(t) ≤ 1, é necessário e suficiente que as raízes da equação f(x) = 0 sejam reais e que pelo menos uma delas pertença ao intervalo [–1,1].

Para que as raízes sejam reais, o discriminante dessa equação deve ser não negativo, o que ocorre se, e somente se, começar estilo tamanho matemático 14px reto b ao quadrado espaço menos espaço 4 vezes 3 vezes parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito espaço maior ou igual a espaço 0 fim do estilo, ou seja, se começar estilo tamanho matemático 14px reto b ao quadrado espaço mais espaço 96 espaço maior ou igual a espaço 0 fim do estilo. Como b2 + 96 é a soma de dois números reais positivos, então essa expressão é um número real não negativo para qualquer valor real de . Assim, basta que pelo menos uma das raízes pertença ao intervalo [–1,1].

Denotando por x1 e x2 essas raízes, note que começar estilo tamanho matemático 14px reto x com 1 subscrito vezes reto x com 2 subscrito espaço igual a espaço menos 8 sobre 3 fim do estilo e, assim, é impossível que ambas estejam em [–1,1]. Logo, é necessário que alguma dessas raízes pertença a esse intervalo.

Para que isso ocorra, o gráfico da função  deve intersectar o eixo das abscissas em algum número em [–1,1], o que ocorre se, e somente se, f(1) ≥ 0 e f(–1) < 0 ou se f(1) < 0 e f(–1) ≥ 0.

De qualquer forma, pode-se escrever f(–1)·f(1) ≤ 0:

começar estilo tamanho matemático 14px parêntese recto esquerdo 3 vezes parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço estreito reto b vezes parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço menos espaço 8 parêntese recto direito vezes parêntese recto esquerdo 3 vezes 1 ao quadrado espaço mais espaço estreito reto b vezes 1 espaço menos espaço 8 parêntese recto direito espaço menor ou igual a espaço 0 parêntese esquerdo menos reto b espaço menos espaço 5 parêntese direito parêntese esquerdo reto b espaço menos espaço 5 parêntese direito espaço menor ou igual a espaço 0 menos reto b ao quadrado espaço mais espaço estreito 25 espaço menor ou igual a espaço 0 fim do estilo

Resolvendo essa inequação, obtém-se b ≤ –5 ou b ≥ 5.