Uma pesquisadora está testando o efeito de um medicamento em uma bactéria. Sabe-se que a função que descreve a quantidade de bactérias vivas na amostra em um tempo t, dado em minutos, é Q(t) = C · 10−bt, com b e C dependendo de características da bactéria e do medicamento.

a) Para uma certa amostra com 5 milhões de bactérias, verificou-se que, nos primeiros 10 minutos, 9/10 da quantidade de bactérias na amostra morreram. Qual é a quantidade de bactérias vivas que restaram após 20 minutos?

b) Numa outra amostra, onde foi descoberto experimentalmente que b = 3, quanto tempo levará para que a quantidade de bactérias fique reduzida à metade?

Dados: log10 2 ≈ 0,3.

a) Como, após 10 minutos, começar estilo tamanho matemático 14px 9 sobre 10 fim do estilo das bactérias da amostra morreram, temos:

começar estilo tamanho matemático 14px atributos de tabela alinhamento de coluna right center left espaçamento de coluna 0px fim dos atributos linha com célula com reto Q parêntese esquerdo 10 parêntese direito espaço fim da célula igual a célula com espaço 1 sobre 10 vezes reto Q parêntese esquerdo 0 parêntese direito fim da célula linha com célula com 5 espaço 000 espaço 000 vezes 10 à potência de menos reto b vezes 10 fim do exponencial espaço fim da célula igual a célula com espaço 1 sobre 10 vezes 5 espaço 000 espaço 000 vezes 10 à potência de menos reto b vezes 0 fim do exponencial fim da célula linha com célula com 10 à potência de menos 10 reto b fim do exponencial espaço fim da célula igual a célula com espaço 1 sobre 10 espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço parêntese esquerdo 1 parêntese direito fim da célula fim da tabela fim do estilo

Após 20 minutos, a quantidade de bactérias vivas que restaram é dada por

começar estilo tamanho matemático 14px atributos de tabela alinhamento de coluna right center left espaçamento de coluna 0px fim dos atributos linha com célula com reto Q parêntese esquerdo 20 parêntese direito espaço fim da célula igual a célula com espaço 5 espaço 000 espaço 000 vezes 10 à potência de menos reto b vezes 20 fim do exponencial fim da célula linha com célula com reto Q parêntese esquerdo 20 parêntese direito espaço fim da célula igual a célula com espaço 5 espaço 000 espaço 000 vezes 10 à potência de menos 20 reto b fim do exponencial fim da célula linha com célula com reto Q parêntese esquerdo 20 parêntese direito espaço fim da célula igual a célula com espaço 5 espaço 000 espaço 000 vezes abre parênteses 10 à potência de menos 10 reto b fim do exponencial fecha parênteses ao quadrado fim da célula linha com célula com reto Q parêntese esquerdo 20 parêntese direito espaço fim da célula igual a célula com espaço 5 espaço 000 espaço 000 vezes abre parênteses 1 sobre 10 fecha parênteses ao quadrado fim da célula linha com célula com reto Q parêntese esquerdo 20 parêntese direito espaço fim da célula igual a célula com espaço 50 espaço 000 fim da célula fim da tabela fim do estilo

Logo, após 20 minutos restaram 50 000 bactérias vivas.

b) Do enunciado que a expressão de Q é

começar estilo tamanho matemático 14px reto Q parêntese esquerdo reto t parêntese direito espaço igual a espaço reto C vezes 10 à potência de menos 3 reto t fim do exponencial fim do estilo

Queremos obter t, em minutos, tal que 

começar estilo tamanho matemático 14px reto Q parêntese esquerdo reto t parêntese direito espaço igual a espaço 1 meio vezes reto Q parêntese esquerdo 0 parêntese direito reto C vezes 10 à potência de menos 3 reto t fim do exponencial espaço igual a espaço 1 meio vezes reto C vezes 10 à potência de menos 3 vezes 0 fim do exponencial 10 à potência de menos 3 reto t fim do exponencial espaço igual a espaço 1 meio espaço espaço espaço espaço então espaço espaço espaço espaço 10 à potência de 3 reto t fim do exponencial espaço igual a espaço 2 fim do estilo

Assim,

começar estilo tamanho matemático 14px 3 reto t espaço igual a espaço log com 10 subscrito espaço 2 espaço espaço espaço espaço então espaço espaço espaço espaço 3 reto t espaço quase igual espaço 0 vírgula 3 fim do estilo

ou seja, 

começar estilo tamanho matemático 14px reto t espaço quase igual espaço 0 vírgula 1 fim do estilo

Logo, o tempo necessário para que a quantidade de bactérias vivas se reduza à metade é, aproximadamente, 0,1 minuto (6 segundos).