Os conceitos de moda, mediana, média e amplitude definem medidas utilizadas para estudar um conjunto de informações numéricas. Por exemplo, na lista de 5 números (2, 2, 4, 8, 14), temos que a moda é igual a 2, a mediana é igual a 4, a média é igual 6 e a amplitude é igual a 12.
Assinale a alternativa que representa a quantidade de listas de 5 números inteiros positivos que cumprem a condição: moda = mediana = média = amplitude = 23.
Considere a lista (a,b,c,d,e) escrita em ordem não decrescente, ou seja,
a ≤ b ≤ c ≤ d ≤e
-
Como mediana é igual a 23, tem-se: c = 23.
-
Como a amplitude é igual a 23, tem-se:
e – a = 23 ∴ e = 23 + a
-
Como a média é igual a 23, tem-se:
Das considerações acima, obtemos a seguinte igualdade
Além disso, como a moda é igual a 23, vamos analisar três situações:
Primeira situação: b = d = 23
Neste caso, da equação (1), teríamos:
2a + 23 + 23 = 69
2a = 23
a = 11,5
O que é impossível, pois a é um inteiro positivo.
Segunda situação: b = 23 e d > 23
Neste caso, da equação (1), teríamos:
2a + 23 + d = 69
2a + d = 46
d = 46 – 2a
Além disso, como 23 < d < e e e = 23 + a, temos:
23 < 46 – 2a < a + 23
Lembrando que a é um inteiro positivo, os possíveis valores de a nessa situação, são: 8, 9, 10 e 11.
Portanto, nessa situação, existem 4 listas que satisfazem as condições do problema.
Terceira situação: b < 23 e d = 23
Neste caso teríamos, da equação (1), vem:
2a + b + 23 = 69
2a + b = 46
b = 46 – 2a
Além disso, como a < b < 23, temos:
a < 46 – 2a < 23
Lembrando que a é um inteiro positivo, os possíveis valores de a nessa situação, são: 12, 13, 14 e 15.
Portanto, nessa situação, existem 4 listas que satisfazem as condições do problema.
Logo existem, no total, 8 listas que satisfazem as condições do problema.